Dois é igual a um: 1ºde abril

Olá, você deve ter parado aqui através do Instagram, não é verdade? Seja bem-vindo(a)! No post em questão eu sugiro que {2=1}. Bem, isso deve soar muito estranho e um tanto quanto ilógico. Mas antes de você achar que eu estou delirando, ainda foi possível observar uma demonstração (algébrica) para este problema que, a princípio, parece estar correto, não é mesmo?

Bom, de fato não há erro no processo algébrico, porém há um erro no início da demonstração que a afeta por completo. E ela começa com a hipótese feita inicialmente.

Ao supor quaisquer duas variáveis e implicar algumas relações entre elas, temos que sempre nos lembrar de suas condições ao longo do problema ou demonstração.

Observe que da terceira para a quarta linha no 1º membro da igualdade temos uma diferença entre quadrados e o expandimos para um produto da soma pela diferença (sabendo que este é um caso de produto notável). No 2º membro da igualdade simplesmente fatoramos a expressão considerando um fator comum. É aqui onde devemos prestar muita atenção.

Se

Então

Ou seja, na primeira aparição de {a-b}, já deveríamos considerar como zero, por conta da hipótese inicial. O correto para concluir esta demonstração seria:

E {0=0}, embora seja bem óbvio não é nenhum absurdo como {2=1}.

Beleza, resolvemos parte do mistério. Dois não é igual a um! Ufa! Mas a onde mora o maior problema desta demonstração falsa?

Da quarta para a quinta linha, é destacado o termo {(a-b)} em ambos os membros da igualdade. Significa que se removêssemos esse termo, a igualdade se manteria. Como este termo faz parte de uma multiplicação, nós deveremos dividir os membros da igualdade por ele:

Contudo, se {a-b=0}, então {\frac{(a-b)}{(a-b)}=\frac{0}{0}} e isto é um pecado matemático!

Brincadeiras a parte, devido a suposição inicial, nós encontraríamos um absurdo ao longo de nossa demonstração que é a divisão por zero.

Aqui preciso salientar algo muito importante: Quando disse que a Álgebra por trás da demonstração estava correta, ela de fato estava, porém nós não podemos esquecer quais são os números que nossas variáveis representam, ou quais condições iniciais foram impostas.

Tudo bem, mas por que dividir por zero é um “pecado matemático”?

Talvez alguém já tenha lhe falado que divisão por zero não existe, ou é algo impossível de se resolver. Caso você tenha “perguntado” à alguma calculadora ela deve ter lhe respondido:

E não, {\frac{0}{0}=Error} não é a resposta para isso!

Para podermos responder a essa pergunta tão fundamental, quero te convidar a refletir um pouco sobre esta operação: DIVISÃO.

Vamos começar analisando o símbolo adotado para essa operação

Este símbolo recebe o nome de obelus, que é uma palavra grega para designar algo afiado ou pontiagudo como um palito. Igual o que se encontra no símbolo acima. Esta palavra deriva da palavra obelisco…

… Faz sentido, não?

Muito provavelmente você utilizou este símbolo a vida toda e não se deu conta de que ele representa (ou dá a ideia) daquilo que realmente ele significa: o palito funciona como um divisor entre os pontos. Eu nunca tinha me dado conta disto até que uma aluna do 8º ano, no ano passado, veio me perguntar se o uso do símbolo era proposital.

Distribuir de forma igualitária uma determinada quantia em determinados grupos é a primeira ideia sobre divisão que temos contato em nossas vidas. Afinal, dividir 12 balas entre você e dois colegas deve ter sido um problema frequente na infância (se não no dia a dia, nas aulas de matemática pelo menos foi).

Isto demonstra visualmente porque {12\div3=4}. Neste caso, quatro é o número de balas que cada pessoa ficaria.

Divisões como esta são conhecidas como divisão em partes iguais, ou de repartição equitativa, já que estamos pegando um número e literalmente dividindo-o em partes.

Considerando ainda a ideia das 12 balas, porém com uma visão um pouco diferente podemos encontrar outra forma de raciocinar sobre divisões. Vamos supor que você queira embalar as balas em saquinhos para vender ao invés de dá-las a seus colegas (investimento). Se cada saquinho contiver três balas, quantos você conseguirá fazer?

Já este tipo de divisão envolve a ideia de medição, ou subtrações sucessivas (já que você vai tirando da quantia inicial a quantidade necessária para compor cada grupo) ou então divisão quociente.

Quociente é uma palavra derivada de um termo em Latim “quotiens”, cujo significado é “quantas vezes” (daí também derivam palavras como cotação, cota, quantia etc.). Neste contexto, a pergunta foi: “quantos grupos você conseguirá fazer?”

Isto dá a {12\div3=4} um significado diferente do anterior. Agora quatro indica o número de grupos formados dado que cada um deverá conter três balas.

Pensar em divisão com a ideia de medição pode exigir um pouco mais de nós por não parecer tão óbvio ou explícito o que o resultado expressa, contudo ele é bem útil em diversas situações. Por exemplo, como você resolveria {12\div\frac{1}{2}}?

Resolver esta conta pensando em repartições equitativas é possível, mas um pouco estranho. Para ficar mais fácil, vamos considerar repartir 12 bolachas (ou biscoitos) ao invés de repartir balas. Como poderíamos dividir esta quantidade com meia pessoa? Por outro lado, repartir com a ideia de medição nos dá a ideia de que precisamos produzir grupinhos com meia bolacha cada um. Aqui a ideia de divisão será levada ao pé da letra. Quantos grupinhos teremos?

Por mais sem graça que seja ganhar meia bolacha, isto torna a questão mais simples {12\div\frac{1}{2}=24}.

Após uma breve discussão a respeito dos significados que a divisão pode assumir, vamos retornar ao nosso problema inicial. Por que não é possível dividir por zero? Imagine {12\div0=?}.

Se considerarmos o problema como uma repartição equitativa podemos pensar da seguinte forma: “quantas bolachas cada pessoa ficará se dividirmos para zero pessoas?”. Podemos concluir que se não há pessoas para receber alguma das 12 bolachas, a resposta é zero já que não repartiremos as bolachas com ninguém.

Porém, se olharmos para esse problema como uma divisão quociente, a resposta pode não ser tão simples e direta quanto foi a última: “quantos pacotes podemos montar utilizando 12 bolachas considerando que cada saquinho conterá zero bolachas?” Bom, nesse caso poderíamos fazer a quantidade de saquinhos que quisermos, já que nunca ficaríamos sem bolachas! Se quisermos, podemos imaginar uma quantidade infinita de saquinhos com zero bolachas cada!

E é aqui a onde eu queria chegar. A primeira resposta que obtivemos para a divisão {12\div0} foi zero, porém, a segunda é de que podemos considerar qualquer quantidade, até mesmo infinita utilizando a mesma divisão! Dessa forma encontramos uma contradição, já que nossas duas possíveis respostas habitam em dois extremos.

Ao analisar a divisão podemos relacioná-la com a multiplicação

Observe a igualdade que obtivemos. Algo que é bastante razoável e podemos afirmar com toda certeza é que um número qualquer multiplicado por zero sempre terá como produto zero.

Ou seja, isso quer dizer que não há nenhum número que possamos substituir no lugar da incógnita {x} que torne esta igualdade verdadeira! Dessa forma, uma divisão por zero não é simplesmente impossível ou indefinida, mas na verdade, indefinível já que nossas duas suposições iniciais são contraditórias e nenhuma delas passam pelo teste da multiplicação.

Ainda há várias formas de se justificar a divisão por zero e encorajo a você leitor a procurar por elas!

Espero que esta pequena brincadeira de 1º de abril tenha sido bastante proveitosa para você, de modo que tenha percebido o quão cuidadoso precisamos ser ao analisar ou fazer certas demonstrações matemáticas, já que elas não serão nem tão óbvias para se aceitar nem tão óbvias para se descartar!

Um grande abraço a você que acompanhou até aqui e até o próximo artigo!