Uma folha quadrada de papel foi dobrada ao meio para formar um retângulo. O retângulo tem perímetro de 24 cm. Qual a área do quadrado original em cm²?
Hoje vamos resolver o último desafio proposto lá no Instagram. Preparados?
O desafio 09 também nos apresentava uma situação geométrica que envolvia noções de área e perímetro. Para resolução deste exercício fornecerei três modos de raciocinar a respeito.
Se relacionarmos as duas figuras envolvidas (quadrado e retângulo), podemos perceber com certa facilidade de que a medida do comprimento do retângulo é a mesma medida do lado do quadrado original e a medida da largura do retângulo é metade da medida do lado do quadrado original.
Sabendo que o perímetro do retângulo (informação fornecida) é de 24 cm, podemos relacioná-lo com as medidas do quadrado conforme mostra a ilustração acima.
\[\dfrac{1}{2} \ lado + 1 \ lado + \dfrac{1}{2} \ lado + 1 \ lado = 3 \ lado\]
Logo o perímetro do retângulo é 3 vezes maior do que o lado do quadrado, por isso:
\begin{align*}
3 \cdot \text{lado} &= 24 \\
\text{lado} &= 8
\end{align*}
Então a medida de um lado do quadrado é igual a 8 cm, por tanto sua área é calculada por:
\[A_{q} = \ell^{2} = 8^{2} = 64 \text{cm}^{2}\]
Vamos dobrar o papel mais uma vez, fazendo com que o retângulo se torne um quadrado novamente. Desdobrando a folha veremos que a folha original se dividiu em quatro quadradinhos congruentes. Chamando de u (unidade) o lado deste quadrado, veremos que o perímetro de um retângulo (unindo dois quadradinhos) é de 6 u, sabendo que seu perímetro é de 24 cm, teremos:
\begin{align*}
6u &= 24 \\
u &= 4 \text{cm}
\end{align*}
Dessa forma, descobrimos que o lado de um quadradinho é igual a 4 cm, consequentemente a medida do lado do quadrado original é equivalente a medida de dois lados dos quadrados menores, logo, igual a 8 cm. Dessa forma, podemos determinar sua área sendo igual a 64 cm².
Para evitar o uso de frações, vamos nomear as partes de nosso retângulo (e quadrado) da seguinte forma:
O perímetro de um retângulo é igual a $6 \ell$ (como na figura), e seu perímetro é de 24 cm. Dessa forma:
\begin{align*}
6 \ell &= 24 \\
\ell &= 4
\end{align*}
Como o comprimento do lado do quadrado é $2 \ell$, então $2 \ell = 2 \cdot 4 = 8$. Como o lado do quadrado original é de 8 cm, sua área será de 64 cm².