Você já deve ter visto algo semelhante nas redes sociais ou algum amigo já fez esta brincadeira com você: adivinhar um número! Normalmente, alguém lhe pede para pensar em um número e depois fazer alguma coisa com ele, como somar, subtrair, multiplicar e dividir por uma série de números determinados. Então, num passe de mágica, é revelado o número obtido, embora não soubessem qual o número que você havia escolhido no começo.
Para compreender como esse truque funciona, siga as etapas a seguir:
- Etapa 1: Escolha um número inteiro positivo.
- Etapa 2: Adicione 3.
- Etapa 3: Triplique a soma
- Etapa 4: Adicione 6 ao produto
- Etapa 5: Encontre a terça parte da soma.
- Etapa 6: Subtraia do quociente o número escolhido no começo.
Se você fez as operações certas, sua resposta será 5.
Se acha que é mera coincidência, tente outro número. Sua resposta, após as seis etapas, sempre será 5, não importa o número escolhido.
Embora isto se assemelhe a magia, não é mágica, é matemágica!
Depois desse trocadilho sem graça, vamos tentar buscar alguma explicação. Primeiramente usarei objetos e depois uma das maiores ferramentas matemáticas que temos: a Álgebra!
Como você pode começar com qualquer número, representarei esta ideia com um saquinho de bolinhas de gude. Ninguém poderá ver o número de bolinhas contidas no saquinho.
Escolha um número inteiro positivo.
Saquinho com um número desconhecido de bolinhas de gude.
Adicione 3.
Saquinho de bolinhas de gude mais três bolinhas.
Triplique a soma.
O triplo da quantidade anterior.
Adicione 6 ao produto.
Seis bolinhas adicionadas a quantidade anterior.
Encontre a terça parte da soma.
A terça parte da quantidade anterior.
Subtraia do quociente o número escolhido no começo.
Cinco bolinhas foram deixadas.
Utilizando os recursos visuais para passar pelas seis etapas, podemos perceber que o número inicial escolhido pela pessoa não influi em nada no resultado. Em nenhum momento foi revelando a quantidade de bolinhas que havia dentro do saquinho.
Mas agora, no lugar desses objetos, poderemos deixar nossa representação um pouco mais sofisticada e simples. No lugar do saquinho de bolinhas de gude utilizarei a letra $n$ para representar qualquer número.
Utilizar $n$ como um símbolo para assegurar um lugar de um número qualquer, algumas vezes é chamado de variável. Esta é uma das ideias fundamentais de toda a álgebra.
Escolha um número inteiro positivo.
Adicione 3.
Triplique a soma.
Adicione 6 ao produto.
Encontre a terça parte da soma.
Subtraia do quociente o número escolhido no começo.
Viu só? Não é tão assustador colocar letras junto de números como te contaram, não é verdade? Se consegue compreender o que ela representa e qual sua função no meio de toda a expressão fica muito simples!
Agora, podemos usar números e símbolos de operações para expressar cada etapa que ocorre neste truque.
- Etapa 1: Escolha um número inteiro positivo: $n$
- Etapa 2: Adicione 3: $n+3$
- Etapa 3: Triplique a soma: $3 \cdot (n+3)$
- Etapa 4: Adicione 6 ao produto: $3 \cdot (n+3) +6$
- Etapa 5: Encontre a terça parte da soma: $\dfrac{3 \cdot (n+3) + 6}{3}$
- Etapa 6: Subtraia do quociente o número escolhido no começo: $\dfrac{3 \cdot (n+3) + 6}{3} \ – \ n$
A expressão encontrada acima representa a combinação de todas as etapas pelas quais passamos para obter o resultado. Ela permanece igual a 5 para qualquer valor inteiro de $n$.
Vamos analisar as etapas algébricas para simplificá-la sem alterá-la. Aplicaremos primeiramente a propriedade distributiva da multiplicação com relação a adição para removermos os parênteses.
\begin{gathered}
\dfrac{3 \cdot (n+3)+6}{3} -n = \dfrac{3n+9+6}{3} – n
\end{gathered}
Agora podemos unir alguns termos semelhantes.
\begin{gathered}
\dfrac{3n+15}{3} \ – \ n
\end{gathered}
Agora poderemos efetuar a divisão de $3n+15$ por 3.
\begin{gathered}
n+5-n
\end{gathered}
Resolvendo a subtração entre os termos semelhantes, a resposta é 5.
Passo a passo, partindo de uma expressão complicada como $\dfrac{3(n+3)+6}{3} \ – \ n$ chegamos a uma muito mais simples, 5.
\begin{gathered}
\dfrac{3 \cdot (n+3) + 6}{3} \ – \ n = 5
\end{gathered}
A expressão do lado esquerdo é igual a expressão do lado direito para todos os valores de $n$.
Podemos ver o porquê este truque corresponde a sempre a resposta 5. Não há nenhuma adivinhação, somente princípios matemáticos.
Ao explicar esse truque, usamos uma letra, $n$, que reserva o lugar para um número qualquer. Por conta disso, este $n$ é chamado de variável (pois o valor de $n$ varia de pessoa para pessoa, dependendo da escolha). Aplicamos princípios básicos, como a ordem das operações e a propriedade distributiva da multiplicação com relação a adição e a subtração para realizar cálculos com expressões que continham variáveis. Esta é a Álgebra, a parte da matemática que permite generalizar raciocínios, trabalhar com ideias abstratas, resolver problemas e criar truques de adivinhação!
Espero que caso você nunca tenha ouvido falar em Álgebra, este texto possa ter mostrado que ela é muito útil e interessante para o desenvolvimento do raciocínio matemático. Caso você já tenha contato com isso, espero ter ajudado a compreender mais a funcionalidade desta parte da matemática.
Até a próxima e tudo de bom pra vocês!