De onde vem o número π?

Olá a todos(as), seja muito bem-vindo(a) a este artigo tão especial. Hoje, dia 14 de março, estamos comemorando mais um dia internacional da matemática. Este dia foi escolhido pois a data, em muitos países, é representada com o número do mês antes do número do dia, sendo assim hoje é 3/14 e como um valor aproximado e bem conhecido para a constante {\pi} é 3,14, não poderia haver dia melhor. Hoje também é conhecido como dia mundial do {\pi}.

“Mas de onde veio esse número?”, “Por que sua aproximação é de 3,14?”, “Quem o descobriu?”, talvez essas dúvidas já devam ter passado pela sua cabeça ou então você pode questionar o que esse número tem de tão importante. Neste artigo nós faremos uma viagem pela história da matemática, fazendo alguns paralelos com conhecimentos atuais e desvendando a tamanha importância que o número  carrega consigo.

O número {\pi}  tem origem na necessidade (ou curiosidade) de se fazer medições em figuras específicas: discos (círculos) e circunferências.

Observe que são figuras simples, bonitas e ainda possuem simetria.

Aqui já podemos fazer uma distinção importante entre círculos e circunferências que será de grande valia ao longo do artigo. Quando comentar a respeito de circunferências estarei me referindo a linha (ou contorno) e quando eu falar sobre discos, me refiro a região interna limitada pela circunferência, pois são palavras de sentido bem definidos (como sugere mestre Elon no livro Meu Professor de Matemática na resposta a uma professora conterrânea). No geral, a palavra círculo será empregada no sentido amplo da palavra (tanto para circunferências quanto para discos). Faço essa ressalva, pois o nome dado a cada elemento varia muito de um livro para outro ou de autor para autor. Caso seu livro identifique estes elementos com nomes diferentes, por favor, continue seguindo o que é sugerido nele e faça as alterações necessárias ao longo de sua leitura.

Naturalmente podemos calcular duas medidas a respeito de figuras planas: área e perímetro, porém essas medições estão envolvidas com o comprimento dos lados do polígono e, diferente das demais figuras planas conhecidas, um círculo não apresenta lados! Então como fazer essas medições a seu respeito? Vamos considerar inicialmente alguns detalhes importantes sobre a circunferência:

1. O que faz de uma circunferência ser uma circunferência é que todos os seus pontos estão a uma mesma distância de seu centro O. A essa distância nomeamos raio da circunferência. Sabendo que toda circunferência possui o mesmo formato, o que torna uma diferente da outra é a medida de seu raio.

2. Podemos interpretar que o comprimento de uma circunferência é o perímetro de um disco (seu contorno).

Você pode imaginar uma maneira bem rudimentar de se medir o comprimento de uma circunferência: contornando o objeto circular com uma fita métrica e verificar seu comprimento (o mesmo poderia ser feito com um barbante). Este experimento pode até ilustrar o que é de fato o comprimento da circunferência, mas é um método impreciso e não muito prático.

E por falar em precisão de métodos de determinação de medidas em círculos, não pense que isso é uma tarefa recente ou de problemas de livros de matemática. Há muitos milênios o ser humano já se deparava com situações que envolviam medições em figuras circulares.

Há aproximadamente 3,5 mil anos atrás, no Egito antigo, um trabalho mais antigo (2000 a.C. a 1800 a.C.) foi reescrito em papiro por Ahmes (A’h-mes) com escrita hierática, sendo consequentemente conhecido por Papiro Ahmes. Ele também é conhecido por de Papiro de Rhind, pois foi adquirido por Henry Rhind, antiquário escocês, em 1858 numa cidade a beira do Nilo. Hoje em dia este documento se encontra no Museu Britânico.

O papiro é uma coleção com mais de 80 problemas de cunho matemático envolvendo situações práticas como a divisão de pães e cerveja, situações de cálculo de frações, questões geométricas entre outros tipos de problemas.

No papiro Ahmes encontramos, no problema 50, uma regra específica para determinar a área de um círculo. Vejamos o problema.

Problema #50: Um campo circular possui diâmetro de 9 unidades de comprimento. Qual é a sua área?

Lendo assim soa como um exercício de aplicação de fórmula, mas vale lembrar que neste momento da história (em que este problema foi escrito), não havia fórmulas matemáticas, então os egípcios tiveram que desenvolver outro método para tal.

Faço uma observação que troquei as unidades de comprimento pertencentes aos povos egípcios por “unidade de comprimento” e “unidade de área” para uma maior fluidez na leitura.

Contudo ainda é proposto uma solução por Ahmes: retire  de seu diâmetro, ou seja, retire 1; o restante é 8. Faça a multiplicação 8 vezes 8 e obtenha 64. A área do campo circular é 64 u.a..

Como podemos perceber pelo procedimento seguido, Ahmes assume que a área de um círculo de diâmetro 9 unidades é igual a área de um quadrado de lados de medida 8 unidades. Se utilizarmos de fórmulas modernas para resolver o problema proposto por Ahmes, teríamos a área da região circular:

E a área do quadrado:

É uma aproximação razoável a respeito das áreas. Vemos que o procedimento adotado pela resolução de Ahmes acaba por aproximar o valor de {\pi}  por {3\frac{1}{6}} , o que é muito interessante para a época.

Nós também podemos formular a solução proposta por Ahmes através de uma relação envolvendo o diâmetro

Se compararmos à fórmula atual para área do círculo a fim de comparação (usualmente utiliza-se o raio, porém para mantermos a incógnita, utilizaremos a seguinte versão):

aproximando os resultados, teremos:

Que é uma aproximação tão melhor quanto a anterior. Esta última desempenhava um papel bem próximo, para os egípcios, ao que a constante  desempenha para nós hoje.

Contudo este é um exemplo da deficiência da qual sofria a geometria egípcia: a falta de uma distinção clara entre relações que são exatas e as que são aproximadas. Não há sinal de que Ahmes soubesse que as áreas de seu círculo e seu quadrado não eram exatamente iguais.

Outro problema presente no papiro de Ahmes é o de número 48. Ele nos possibilita inferir uma hipótese de como os egípcios chegaram a sua área do círculo. Este problema é um tanto quanto enigmático, pois não há texto, somente cálculos.

E este problema em específico gerou muitos debates. Será um círculo inscrito num quadrado? Será um octógono inscrito? A figura em si gerou muitas dúvidas devido ao seu formato e a comparação com outros círculos desenhados ao longo do papiro.

Se o escriba tivesse inscrito um círculo no mesmo quadrado, ele teria percebido que o círculo teria uma área próxima ao do octógono, mesmo que ele não cobrisse o círculo totalmente, isso seria “compensado” automaticamente pelos oito pedacinhos do octógono que ficam fora do círculo.

No papiro é indicado que o quadrado tem lado 9 u.c., mas nada é indicado a respeito do tamanho do octógono. Bem, há quem acredita que se trate de um octógono semirregular (metade dos lados com uma medida e a outra metade com outra medida) e que sendo dessa forma, podemos cortar os quatro triângulos que ficam nos cantos da figura e obter a área do octógono da seguinte forma:

Dessa forma área do octógono seria de 63 u.a. e comparada a área do quadrado teríamos {\frac{63}{81}}, que é bem próximo da área encontrada no problema 50 para o círculo.

Há quem defenda também que se trata de um octógono irregular, dessa forma os triângulos não teriam o mesmo tamanho e por conta disso, o octógono acabaria por ter área igual a 64 u.a. o que ficaria próximo do que o escriba (talvez) estivesse buscando, bem como a área do círculo.

Porém não foram somente os egípcios que se debruçaram sobre este tema, seus sucessores matemáticos, os gregos, também deram sua contribuição (matematicamente maior que a dos egípcios) no que diz respeito a realizar medições sobre círculos.

Hoje atribuímos ao matemático e astrônomo Eudoxo de Cnido o desenvolvimento do chamado (atualmente) como método de exaustão, que se baseia na inscrição e circunscrição de polígonos de n lados em um círculo para aproximar sua área ou seu perímetro (comprimento), tendo n um valor numérico bem grande. Matemáticos anteriores já sugeriram que se tentasse fazer esse tipo de aproximação, mas não sabiam como concluir o argumento já que não conheciam o conceito de limite.

De acordo com Arquimedes, foi Eudoxo quem forneceu o axioma necessário (hoje conhecido também como axioma de Arquimedes) para embasar o método de exaustão, o que hoje é chamado de cálculo integral.

Pois então vamos fazer um exercício para chegarmos ao comprimento da circunferência utilizando o método de exaustão?

O comprimento da circunferência é definido através de aproximações por falta e por excesso: por falta são os perímetros dos polígonos regulares inscritos; por excesso são os perímetros dos polígonos regulares circunscritos.

Consideremos que o comprimento da circunferência seja {C} e o perímetro dos polígonos inscritos e circunscritos sejam, respectivamente, {p_{n}} e {P_{n}}, temos a seguinte definição:

O importante é ter em mente que quanto mais lados considerarmos que os polígonos tiverem, melhor será sua aproximação do comprimento e área real do círculo, ou seja, as aproximações vão ficando cada vez melhores.

Ainda através do método de exaustão, Arquimedes conseguiu uma excelente aproximação utilizando um polígono de 96 lados, o que lhe possibilitou encontrar duas casas decimais exatas da constante {\pi}. Séculos depois, Ptolomeu consegue uma aproximação equivalente a {\frac{377}{120} = 3,1416666...} utilizando um polígono de 720 lados. Avançando um pouco no tempo, no final do século XVI, Ludolph van Ceulen conseguiu calcular 20 casas decimais exatas utilizando um polígono com 2 061 584 326 080 lados. Contudo, o método dos polígonos apresenta sérias limitações que abordarei no artigo da semana que vem.

De uma maneira geral, conseguimos perceber que  se origina da razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Pela semelhança mantida entre os círculos, temos que independente da circunferência e seu diâmetro, encontraremos:

Ou seja, em uma circunferência, cabem {\pi} vezes seu diâmetro, daí podemos concluir a conhecida fórmula sobre comprimento de circunferência.

Resolvendo o problema do comprimento da circunferência, agora nos falta calcular o a área do disco. Vamos continuar embasando nosso raciocínio através do método da exaustão. A área do disco será aproximada por falta e por excesso, respectivamente, pelas áreas dos polígonos inscritos no e circunscritos ao disco.

Imaginemos que a área do polígono inscrito numa circunferência de raio r, poderá ser calculada ao subdividirmos ele em triângulos idênticos. Os n triângulos são todos isósceles com vértices no centro da circunferência. Cada triângulo tem dois lados de medida r (raio da circunferência) e um lado de medida (lado do polígono) e altura h relativa à base .

Cada triângulo terá área:

Isso significa que a área do polígono total será:

Note que {a \cdot n} nada mais é do que o perímetro do polígono inscrito. Logo:

Agora nós temos uma precisão a respeito da área de um polígono em termos do seu perímetro e da distância do centro a seu lado. Agora, o que acontece quando aumentamos o valor de n de maneira indefinida?

Exatamente! O perímetro vai se aproximando cada vez mais do próprio comprimento da circunferência, enquanto a altura h se aproxima do raio r. Dessa forma, podemos dizer que a área do polígono se aproxima de {\frac{1}{2}rC}, que nada mais é do que a própria área do círculo! Dessa forma:

E esta é uma maneira de se demonstrar a fórmula da área de um disco. Existem muitos outros caminhos que poderemos discutir em outro artigo.

Uma outra ideia bem bacana é imaginar desenrolar uma circunferência ao longo de uma linha reta de modo que esta linha forme um ângulo reto com o raio. O que a nossa fórmula está dizendo é que o círculo ocupará a mesma área que este triângulo.

O que acabamos de fazer foi obter representação exata da área de um círculo utilizando algumas aproximações bem-feitas. Essa, pode-se dizer que, é uma das principais diferenças entre a geometria dos gregos para com a geometria dos egípcios, a preocupação com o rigor e com os porquês, embora possuam alguns problemas em abertos.

E assim por diante, ao longo dos anos, o número {\pi}, nossa querida constante matemática, vem fazendo com que matemáticos e entusiastas ao redor do mundo se ponham a calcular e trabalhar para determinar com (grande) exatidão o maior número de casas decimais possíveis. Para se ter uma ideia, em 1873, William Shanks calculou {\pi} com 707 algarismos decimais exatos, porém quase 75 anos depois foi descoberto que Shanks havia cometido um equívoco no 527º algarismo e, portanto, nas seguintes.

Já em 1984 nos EUA, com auxílio de computadores, que possuíam grande capacidade de processamento (comparado aos métodos anteriores) foi calculado, precisamente, 10 013 395 algarismos decimais exatos de {\pi}.

Talvez você esteja se perguntando qual a necessidade disso tudo ou até quantos algarismos seria necessário se calcular para obter o valor exato de {\pi}? Bom, acontece que {\pi} é um número irracional. Isto significa que ele nenhuma fração entre números inteiros pode expressar exatamente seu valor (nem em representação decimal). Então não importa o quanto se calcule e descubra mais casas, jamais obteremos o valor exato de {\pi}, muito menos encontraremos uma periodicidade entre seus dígitos decimais.

Agora, sem dúvidas, você quer saber qual a necessidade de tudo isso… Bem, esses cálculos existem por uma questão de “esporte”. Já se tornou mais um lazer do que uma investigação matemática. Os matemáticos têm isso pelo mesmo motivo que há o Livro dos Recordes: Sempre ir um pouco além e ultrapassar o último recorde.

Euler foi o matemático que atribuiu a letra grega {\pi} à constante 3,141592… no ano de 1737. Desde então todo mundo passou a utilizar a letra {\pi} para designar a constante. Ela veio da palavra grega {\pi \varepsilon \rho \iota \mu \varepsilon \tau \rho o \varsigma} , que significa perímetro. Faz total sentido se considerarmos que o perímetro de um disco de raio 1 é igual a {\pi} cm.

Euler também foi responsável por levantar a conjectura de que  era um número transcendente. Isso significa que  está além dos padrões algébricos comuns, pois ele não poderia ser raiz de uma equação algébrica de coeficientes inteiros (por exemplo, seja {a, b \ e \ c \in \mathbb{Z}} tais que {a{\pi}^2+b\pi + c = 0}). Mas somente em 1882 que esta conjectura foi prova por Lindemann, cerca de um século após a morte de Euler.

Um outro fato que está ligado com {\pi} ser transcendente é que isso torna o problema da quadratura de um círculo (construir um quadrado com a mesma área de um círculo utilizando somente régua e compasso), que também foi um problema dos geômetras gregos, um problema sem solução. Os métodos utilizados pelos egípcios também se veem em maus lençóis por esta circunstância, contudo não podemos desmerecer todo o raciocínio matemático por trás do processo desenvolvido por eles, afinal a aproximação de {\frac{256}{81}} como valor de  apresenta um erro menor do que 1% (0,62% para ser um pouco mais exato).

E tudo isso e ainda nem falamos sobre as contribuições dos chineses e indianos para o processo de cálculo da constante mais famosa da matemática. Ainda há lugares alternativos onde este número dá as caras (Leibniz e Euler), mas isso vamos deixar para o próximo artigo, onde falaremos um pouco mais sobre o cálculo de {\pi} pelo método dos polígonos.

Muito obrigado a você que leu até aqui e aprendeu um pouco mais sobre esta constante tão importante na vida dos matemáticos, estudantes e todas as pessoas que utilizam de objetos circulares em seu dia a dia. Aproveite o dia internacional da matemática. Até mais!

Bibliografia:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 9ª reimpressão. Editora Edgard Blucher, 1974.

LIMA, Elon Lages. et al. Temas e Problemas Elementares. 2ª edição. Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.

LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. 4ª edição. Sociedade Brasileira de Matemática, 2011.

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras histórias. 6ª edição. Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.

LOCKHART, Paul. Measurement. Belknap Harvard. 2014

GERDES, Paulus. Three Alternate Methods of Obtaining the Ancient Egyptian Formula for the Area of a Circle. Department of Mathematics and physics. Faculty of Educution. Eduardo Mondlane University, C.P. 257. Maputo. Mozumhiyue, 1985.