A Mágica do 1089

Seja muito bem-vindo(a) ao meu site! Talvez você tenha chegado até aqui através do meu post do Instagram, ou deve ter encontrado o site pelo Google enquanto fazia alguma pesquisa sobre matemática e curiosidades, no entanto, qualquer que tenha sido o motivo, é muito bom ter você aqui. Neste artigo irei demonstrar o porquê da “mágica” por trás do problema do número {1089} funcionar. Vamos lá?

Para retomar um pouco do que já sabemos, observe o esquema abaixo:

Agora repita as etapas descritas usando outros números de três algarismos que respeitem as condições especificadas para verificar se esse padrão se repete. Aqui temos algumas sugestões: {123}, {956}, {489} e {246}.

Você vai perceber que a soma continua sendo {1089}, mas afinal, por que isso ocorre? Qual condição é satisfeita entre os números, para que o resultado seja sempre {1089}? Bom, é isso que nós iremos explorar a partir de agora.

Vamos considerar um número de três algarismos genérico, como por exemplo, {abc}. Agora, vamos escrever este número na representação polinomial (de acordo com as ordens do sistema de numeração decimal): {100a+10b+c}, supondo ainda que  {a>c} ({a} é maior do que {c}, por conta da condição dada inicialmente).

Invertendo os algarismos teremos: {100c+10b+a}, falta agora calcularmos a diferença entre os dois números.

Da diferença encontrada, podemos compreender que {(a-c)} é o novo algarismo das centenas, a dezena não possui algarismo (ou seja, zero) e {-(a-c)} é o algarismo das unidades, no entanto perceba que não faz sentido termos este último como algarismo das unidades, pois ele é um número negativo. Portanto, vamos contornar a situação somando e subtraindo um determinado valor à expressão, assim a expressão se mantém, e conseguimos manipular este problema do número negativo.

Aqui é como se expressássemos o zero na ordem das dezenas pela soma e subtração do mesmo valor. O número {100} foi escolhido propositalmente para possibilitar algumas manipulações.

Bom, agora nosso algarismo das centenas é expresso por {(a-c-1)}, o algarismo das dezenas é {9} e o algarismo das unidades é {[10-(a-c)]}, sendo agora um número positivo.

A expressão que encontramos agora, representa a diferença entre os primeiros valores, agora precisamos inverter os algarismos deste número e calcularmos sua soma.

Reorganizando os termos semelhantes teremos:

Perceba que independente dos algarismos que compõem as ordens das centenas, dezenas e unidades do número inicial, a soma final sempre será {1089}. Fantástico, não?! É claro, você pode estar se perguntando o porquê de termos feito tudo isso só para descobrir que o resultado seria {1089}, mas o barato da matemática é exatamente isso, levantar conjecturas (hipóteses matemáticas), colocá-las a prova e descobrir se este padrão ocorre para todas as situações, ou não!

Aqui vai outra curiosidade, pois nossa demonstração possibilitou o aparecimento de um caso especial. Isto ocorre quando a diferença entre {a} e {c} é 1. Quando isto acontece, {a-c-1=0} e {100(a-c)-(a-c)} é sempre igual a {99}, que é um número de dois algarismos. Entretanto, podemos transformá-lo em um número de três algarismos, escrevendo {099}, invertendo-se temos {990} e a soma  é, ainda, {1089}.

Espero que para você tenha sido tão divertido ter lido este pequeno artigo quanto foi para mim escrevê-lo. Caso tenha tido alguma dúvida, retome os cálculos, faça as contas por você mesmo, e caso perceba algo incorreto ou que possa melhorar, não esqueça de me contar nos comentários abaixo ou lá no Instagram.

Até a próxima, tudo de bom pra você!

REFERÊNCIAS

JOHNSON, Donovan A.; GLENN, William H. Matemática Sem Problemas: Divirta-se com a Matemática. Editora José Olympio, 1972