Seja muito bem-vindo(a) ao meu site! Talvez você tenha chegado até aqui através do meu post do Instagram, ou deve ter encontrado o site pelo Google enquanto fazia alguma pesquisa sobre matemática e curiosidades, no entanto, qualquer que tenha sido o motivo, é muito bom ter você aqui. Neste artigo irei demonstrar o porquê da “mágica” por trás do problema do número 1089 funcionar. Vamos lá?
Para retomar um pouco do que já sabemos, observe o esquema abaixo:
- Escolha um número de três algarismos, onde o algarismo das centenas difere de 2 ou mais unidades do algarismo das unidades: 825;
- Inverta os algarismos desse número: 528;
- Subtraia o menor do maior: 825 $-$ 528 $=$ 297;
- Inverta os algarismos da resposta: 792;
- Some: 792 $+$ 297 $=$ 1089.
Agora repita as etapas descritas usando outros números de três algarismos que respeitem as condições especificadas para verificar se esse padrão se repete. Aqui temos algumas sugestões: 123, 956, 489 e 246.
Você vai perceber que a soma continua sendo 1089, mas afinal, por que isso ocorre? Qual condição é satisfeita entre os números, para que o resultado seja sempre 1089? Bom, é isso que nós iremos explorar a partir de agora.
Vamos considerar um número de três algarismos genérico, como por exemplo, $abc$. Agora, vamos escrever este número na representação polinomial (de acordo com as ordens do sistema de numeração decimal): $100a + 10b + c$, supondo ainda que $a > c$ – por conta da condição dada inicialmente.
Invertendo os algarismos teremos: $100c + 10b + a$, falta agora calcularmos a diferença entre os dois números.
\begin{gathered}
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\[8pt]
100a+10b+c-100c-10b-a \\[8pt]
100a+c-100c-a \\[8pt]
100a-100c-a+c \\[8pt]
100(a-c)-(a-c)
\end{gathered}
Da diferença encontrada, podemos compreender que $(a-c)$ é o novo algarismo das centenas, a dezena não possui algarismo (ou seja, zero) e $-(a-c)$ é o algarismo das unidades, no entanto perceba que não faz sentido termos este último como algarismo das unidades, pois ele é um número negativo. Portanto, vamos contornar a situação somando e subtraindo um determinado valor à expressão, assim a valor original se mantém, e conseguimos manipular este problema do número negativo.
\begin{gathered}
100(a-c) – (a-c) \\[8pt]
100(a-c) – 100 + 100 -(a-c)
\end{gathered}
Aqui é como se expressássemos o zero na ordem das dezenas pela soma e subtração do número 100. Número este que foi escolhido propositalmente para possibilitar algumas manipulações.
\begin{gathered}
100(a-c) -100 +100 -(a-c) \\[8pt]
100(a-c-1) + 10 \cdot 9 + [10-(a-c)]
\end{gathered}
Bom, agora nosso algarismo das centenas é expresso por $a-c-1$, o algarismo das dezenas é 9 e o algarismo das unidades é $[10-(a-c)]$, sendo agora um número positivo.
A expressão que encontramos agora, representa a diferença entre os primeiros valores, agora precisamos inverter os algarismos deste número e calcularmos sua soma.
\begin{gathered}
100(a-c-1)+10\cdot 9+[10-(a-c)] \\[8pt]
100[10-(a-c)]+10\cdot 9+(a-c-1) \\[8pt]
100(a-c-1)+10\cdot 9+[10-(a-c)] + (100[10-(a-c)] + 10\cdot 9 + (a-c-1)) \\[8pt]
100(a-c-1)+10\cdot 9+[10-(a-c)] + 100[10-(a-c)] + 10\cdot 9 + (a-c-1) \\[8pt]
100a-100c-100+90+10-a+c+1000-100a+100c+90+a-c-1
\end{gathered}
Reorganizando os termos semelhantes, teremos:
\begin{gathered}
100a – 100a – 100c + 100c – a + a + c – c – 100 + 90 + 10 + 1000 + 90 -1 \\[8pt]
-100 + 90 + 10 + 1000 + 90 – 1 \\[8pt]
1089
\end{gathered}
Perceba que independente dos algarismos que compõem as ordens das centenas, dezenas e unidades do número inicial, a soma final sempre será 1089. Fantástico, não?! É claro, você pode estar se perguntando o porquê de termos feito tudo isso só para descobrir que o resultado seria 1089, mas o barato da matemática é exatamente isso, levantar conjecturas (hipóteses matemáticas), colocá-las a prova e descobrir se este padrão ocorre para todas as situações, ou não!
Aqui ainda vai outra curiosidade, pois esta prova possibilitou o aparecimento de um caso especial. Isto ocorre quando a diferença entre $a$ e $c$ é 1. Quando isto acontece, $a-c-1=0$ e $100(a-c)-(a-c)$ é sempre igual a 99, que é um número de dois algarismos. Entretanto, podemos transformá-lo em um número de três algarismos, escrevendo 099, invertendo temos 990 e a soma $99+990$ é, ainda, 1089.
Espero que para você tenha sido tão divertido ter lido este pequeno artigo quanto foi para mim escrevê-lo. Caso tenha tido alguma dúvida, retome os cálculos, faça as contas por você mesmo, e caso perceba algo incorreto ou que possa melhorar, não esqueça de me contar nos comentários abaixo ou lá no Instagram.
REFERÊNCIAS
JOHNSON, Donovan A.; GLENN, William H. Matemática Sem Problemas: Divirta-se com a Matemática. Editora José Olympio, 1972