São usados 11 palitos de dente para formar uma fileira com 5 triângulos. Se continuarmos o padrão, qual é o número de triângulos que serão formados se usarmos 89 palitos de dente?
Para este desafio temos várias soluções e irei apresentar duas possibilidades de se pensar sobre este problema.
Método 1: Forme um triângulo por vez.
Os três primeiros palitos de dente formam um triângulo. Depois disso, a cada dois palitos adicionados temos um novo triângulo.
Se pensarmos em utilizar 89 palitos, tiraríamos os três primeiros e ficaríamos com
\begin{gathered}
89-3=86
\end{gathered}
$89 – 3 =86$
A cada dois palitos adicionais, um triângulo novo é formado, então
\begin{gathered}
86 \div 2 = 43
\end{gathered}
$86 \div 2=43$
43 pares de palitos são na verdade 43 triângulos formados. Incluindo o primeiro triângulo, nós teríamos um total de 44 triângulos formados utilizando 89 palitos de dente.
Método 2: Cosntrua uma tabela e busque um padrão
Tabela de contagem
| Número de Palitos de Dente: | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | … | 89 |
| Número de Triângulos: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | ? |
Um possível padrão que poderíamos encontrar é que o número de palitos forma a sequência dos números ímpares a partir do 3. E isso nos possibilita de olhar para o padrão apresentado no problema de outra forma.
Como um lado sempre será comum a dois triângulos, podemos separar o desenho de dois em dois palitos e sobrará um palito ao final.
\begin{gathered}
2 \cdot 5 + 1 = 11
\end{gathered}
Onde 5 foi o número de triângulos e 11 o número de palitos. O primeiro membro da igualdade acima nos remete a própria representação de um número ímpar genérico. Fazendo algumas alterações na igualdade acima teremos
\begin{gathered}
2t + 1 = p
\end{gathered}
Onde $t$ é o número de triângulos e $p$ o número de palitos. Se alterarmos um pouco a expressão
\begin{gathered}
t = \dfrac{p-1}{2}
\end{gathered}
Agora a nossa nova expressão calcula exatamente o número de triângulos montados sabendo-se o número de palitos utilizados.
\begin{gathered}
t = \dfrac{89-1}{2} = \dfrac{88}{2} = 44
\end{gathered}
Ou seja, o número de triângulos possíveis de se montar com 89 palitos de dente é 44.
Percebeu como podemos aplicar diferentes tipos de raciocínios e estratégias para um mesmo problema? Um método me deu um raciocínio mais simples, sem se prender a fórmulas, usando simplesmente um método de contagem mais atento ao padrão proposto. Já o segundo mostrou um método mais analítico do problema, onde eu procurava algo para me basear (padrão) sem exigir muito “esforço”.
Obrigado por acompanhar até aqui.