A Geometria da Bandeira do Brasil

Você sabia que a bandeira do Brasil possui medidas oficiais que são determinadas e amparadas por lei? A bandeira nacional, assim como outros símbolos nacionais (hino nacional, armas nacionais, e o selo nacional), são padronizados de acordo com as especificações contidas na Lei nº 5 700 de 1º de setembro de 1971.

Para comemorar os 200 anos da independência do Brasil do melhor jeito matemático, vamos construir uma bandeira de nosso país utilizando régua e compasso.

A atual bandeira do Brasil foi adotada através do decreto nº 4, de 19 de novembro de 1889 (data conhecida como o dia da bandeira). O modelo foi criado por Raimundo Teixeira Mendes, com a colaboração de Miguel Lemos. Manuel Pereira Reis, professor catedrático em Astronomia pela Escola Politécnica ficou responsável pela posição das estrelas no círculo azul (dando-o a característica de esfera celeste). O desenho foi feito por Décio Vilares.

Antes do decreto nº 4, o Brasil tinha como bandeira oficial a Bandeira Imperial do Brasil (1822 – 1889), que foi oficializada após a declaração da independência do Brasil, por isso é considerada oficialmente a primeira bandeira nacional brasileira.

Com a Proclamação da República em 15 de novembro de 1889 decidiram erguer uma nova bandeira mostrando a nova fase do Brasil.

Parece que já vi este desenho em algum lugar… “Talvez” por conta disso, decidiram trocar o modelo da bandeira para o qual nós conhecemos hoje.

Mas esse site não é um site de história do Brasil, e sim de matemática então, vamos ao que interessa, vamos construir uma bandeira do Brasil utilizando instrumentos de Desenho Geométrico e as medidas oficiais.

O artigo 4º do capítulo II da Lei 5 700 diz que a bandeira do Brasil, confeccionada em tecido para locais públicos e privados, deve ser feita de acordo com os seguintes tipos: “tipo 1, com um pano de 45 centímetros de largura; tipo 2, com dois panos de largura; tipo 3, três panos de largura; tipo 4, quatro panos de largura; tipo 5, cinco panos de largura; tipo 6, seis panos de largura; tipo 7, sete panos de largura.” Dessa forma, utilizando uma linha diagonal, os diversos tamanhos se manterão na proporção estabelecida pelo decreto.

E agora nós podemos reproduzir nossa bandeira do Brasil desde que mantenhamos as devidas proporções (se quisermos fazer corretamente). Para isso, acompanharemos o artigo 5º para construirmos nossa bandeira em uma folha sulfite.

No próprio site do planalto temos um referencial quanto as medidas oficiais da bandeira do Brasil.

Trataremos de cada parte do desenho de maneira isolada, seguindo a ordem dos tópicos apresentados no artigo 5º.

Art. 5º A feitura da Bandeira Nacional obedecerá às seguintes regras

I – Para cálculo das dimensões, tomar-se-á por base a largura desejada, dividindo-se esta em 14 (quatorze) partes iguais. Cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo.

É importante compreendermos que este “módulo” faz referência a unidade de medida utilizada, podendo ser centímetros, metros, e se for o caso, milímetros ou quilômetros. Neste caso, como construiremos a bandeira numa folha de sulfite, utilizaremos como unidade os centímetros.

II – O comprimento será de vinte módulos (20M).

Desta forma, seguindo os itens I e II, construiremos o retângulo (verde) que compõe o fundo de nossa bandeira. Esta construção poderá ser realizada utilizando régua e esquadros ou trançando um ângulo reto nas extremidades do segmento.

O verde da bandeira, dentre seus muitos significados, é uma recordação à família de Bragança, a filiação com a França e o estandarte dos Bandeirantes.

III – A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7M).

O losango amarelo fica centralizado com relação ao retângulo, dessa forma, para facilitar o processo de construção de nossa bandeira, podemos ligar os pontos médios (mediatriz) dos lados paralelos para obtermos o centro da bandeira e segmentos de base para posicionar os vértices do losango.

Como os vértices do losango precisam distar um módulo e sete décimos das laterais do retângulo (no caso 1,7 cm), basta transferirmos esta medida com o compasso para as mediatrizes.

O losango na bandeira, em particular, é a representação da mulher na posição de mãe, esposa, irmã e filha. Sua cor amarela faz alusão ao período imperial, recordando às famílias nobres de Habsburgo, Castela e Lorena a que pertencia D. Leopoldina, esposa de D. Pedro I.

O retângulo e o losango mantiveram as cores (tonalidades) da bandeira imperial, mostrando que a nova bandeira ainda carrega o legado da era imperial, o que nos chama a atenção para o fato de não existirem referências oficiais quanto a tonalidade de cada cor, mas baseado na maioria das bandeiras que encontramos pela internet, as cores mais próximas às “oficiais” são as seguintes:

IV – O círculo azul no meio do losango amarelo terá o raio de três módulos e meio (3,5M).

O azul do círculo remonta a nacionalidade lusitana e homenageia a Padroeira do Brasil, Nossa Senhora Aparecida.

A inclusão das estrelas (que não estão organizadas de qualquer maneira) sobre o círculo o transforma em uma esfera celeste. Uma esfera celeste é uma representação simplificada do céu, onde consideramos que todas as estrelas estão a uma mesma distância da Terra, como se estivessem contidas na superfície de uma esfera (bola) e a Terra estivesse em seu centro. São usadas para orientação e localização de objetos no céu. Faz sentido ao considerarmos o que está escrito no inciso 1 do artigo 3º:

§ 1° As constelações que figuram na Bandeira Nacional correspondem ao aspecto do céu, na cidade do Rio de Janeiro, às 8 horas e 30 minutos do dia 15 de novembro de 1889 (doze horas siderais) e devem ser consideradas como vistas por um observador situado fora da esfera celeste.

Claro que o “céu” representado na bandeira é algo idealizado, visto que algumas estrelas estão posicionadas de forma inconveniente. Contudo, a bandeira brasileira é única a apresentar uma ilustração completa com relação aos corpos celestes.

Já que estamos tratando das estrelas contidas na bandeira brasileira, vale ressaltar de que não conseguirei desenhá-las sobre a bandeira que estamos construindo, pois elas possuem tamanhos extremamente pequenos e variados, já que cada tamanho serve para representar seu brilho. Observe o 9º tópico:

IX – As estrêlas serão de 5 (cinco) dimensões: de primeira, segunda, terceira, quarta e quinta grandezas. Devem ser traçadas dentro de círculos cujos diâmetros são: de três décimos de módulo (0,30M) para as de primeira grandeza; de um quarto de módulo (0,25M) para as de segunda grandeza; de um quinto de módulo (0,20M) para as de terceira grandeza; de um sétimo de módulo (0,14M) para as de quarta grandeza; e de um décimo de módulo (0,10M) para a de quinta grandeza.

Se fôssemos adaptar as grandezas a nosso padrão de medida, cada estrela seria construída em circunferências de raio: 0,15 cm; 0,125 cm; 0,10 cm; 0,07 cm e 0,05 cm. Medidas extremamente pequenas, não dá nem para rotacionar o compasso sobre a folha. Porém, mostrarei como podemos desenhar estrelas (de 5 pontas) com régua e compasso.

Primeiramente devemos construir uma circunferência de centro O de raio qualquer utilizando o compasso. Após isso, traçamos um segmento de reta destacando o diâmetro desta circunferência que passa pelos pontos A e B.

Feito isso, devemos traçar um raio perpendicular ao diâmetro até o ponto . Neste caso poderemos utilizar esquadros ou encontrar a mediatriz do segmento também.

Agora será necessário encontrar o ponto médio de {\bar{OB}}  (ou {\bar{AO}}), criando assim o ponto M.

Destacamos agora o segmento {\bar{CM}}. Este segmento será de tamanha importância para a criação da estrela. Posteriormente, deveremos transferir esse comprimento para o diâmetro, mantendo a ponta seca do compasso em M, criando o ponto D.

A partir do ponto E e utilizando o comprimento CD marque pontos sequenciais sobre a circunferência. A partir de agora, omitirei os pontos A, B, C, D, O e M e todos os pontos que marcarei agora serão marcados na forma {E_{n}} , onde o índice {n} identificará cada ponto E.

Você verá que não será possível marcar mais do que 5 pontos sobre a circunferência utilizando este comprimento. Agora, dependendo da forma como ligarmos esses pontos, criaremos um pentágono ou a estrela de cinco pontas.

Observe que são detalhes difíceis de se reproduzir em circunferências de diâmetro muito reduzido, então podemos resolver nosso problema desenhando as estrelas sob a bandeira utilizando algum gabarito ou molde pronto.

Agora apresentarei quais estrelas representam quais estados e quais constelações elas formam (ou fazem parte), lembrando que não há relações entre o tamanho, brilho e posicionamento da estrela e o tamanho dos estados, o critério utilizado foi a posição das estrelas no céu e a sequência geográfica dos estados.

Vale ressaltar que a única estrela acima da faixa branca, ao contrário do que muitos pensam, não representa o Distrito Federal, mas sim o Pará. Talvez esse equívoco aconteça já que estamos habituados a falar que o Brasil possui 27 estados mais o Distrito Federal, causando uma separação desse último dos demais.

E continuando a tratar do círculo azul e de sua característica celeste, um dos elementos da bandeira que dá a perspectiva esférica a ele é a faixa branca com o inscrito “Ordem e Progresso”.

V – O centro dos arcos da faixa branca estará dois módulos (2M) à esquerda do ponto do encontro do prolongamento do diâmetro vertical do círculo com a base do quadro externo (ponto C indicado no Anexo nº 2).

VI – O raio do arco inferior da faixa branca será de oito módulos (8M); o raio do arco superior da faixa branca será de oito módulos e meio (8,5M)

VII – A largura da faixa branca será de meio módulo (0,5M).

Sem muitos segredos para a construção da faixa, não é verdade?

As letras também possuem tamanhos e posições específicas. Veja:

VIII – As letras da legenda Ordem e Progresso serão escritas em côr verde. Serão colocadas no meio da faixa branca, ficando, para cima e para baixo, um espaço igual em branco. A letra P ficará sôbre o diâmetro vertical do círculo. A distribuição das demais letras far-se-á conforme a indicação do Anexo nº 2. As letras da palavra Ordem e da palavra Progresso terão um têrço de módulo (0,33M) de altura. A largura dessas letras será de três décimos de módulo (0,30M). A altura da letra da conjunção E será de três décimos de módulo (0,30M). A largura dessa letra será de um quarto de módulo (0,25M).

Interessantíssimo o quão preciso a uma bandeira de um país precisa ser para estar nas medidas oficiais, não é mesmo? A última ressalva a ser feita é quanto ao outro lado da bandeira (folha) e está no décimo tópico:

X – As duas faces devem ser exatamente iguais, com a faixa branca inclinada da esquerda para a direita (do observador que olha a faixa de frente), sendo vedado fazer uma face como avêsso da outra.

Dessa forma, a bandeira tem que ser a mesma quando vista de frente ou de costas.

A primeira pessoa a trabalhar com essa matemática foi D. Flora Simas de Carvalho, que costurou a primeira bandeira oficial após o decreto de 1889. A bandeira sendo bordada pela família de Dona Flora é retratada pelo quadro A Pátria, de 1919, do pintor Pedro Bruno, que se encontra hoje no Museu da República no Rio de Janeiro.

É previsto por lei, também, alterações em nossa bandeira caso algum estado seja integrado ao país, dessa forma será acrescentada mais uma estrela à esfera celeste. Isso vale também nos casos em que algum estado se desvincule, então a estrela, a qual o representava, será removida da bandeira.

E por aqui encerramos esta interessante participação da matemática na história de nosso país. E aí, já sabia de tudo isso? Já sabia como construir as partes da bandeira com régua e compasso? Comente aí abaixo e compartilhe este artigo com seus amigos!